Cho a,b,c > 1 thỏa mãn a +b + c = 6
CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) < 216
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 6 2023
\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)
Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2021
Đặt \(P=2ab+2bc+2abc-5ac\), ta sẽ chứng minh \(-15\le P\le7\)
Ta có:
\(P=2b\left(a+c\right)+2abc-5ac\le b^2+\left(a+c\right)^2+2abc-5ac\)
\(P\le a^2+b^2+c^2+2abc-3ac=6+2abc-3ac=ac\left(2b-3\right)+6\)
- Nếu \(b\le\dfrac{3}{2}\Rightarrow P< 6< 7\) (đúng)
- Nếu \(b>\dfrac{3}{2}\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+c^2\right)\left(2b-3\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(6-b^2\right)\left(2b-3\right)+6\)
\(\Rightarrow P\le7-\dfrac{1}{2}\left(b-2\right)^2\left(2b+5\right)\le7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;1\right)\)
Đồng thời:
\(P=2\left(ab+bc+abc\right)-5ac\ge-5ac\ge-\dfrac{5}{2}\left(a^2+c^2\right)=-\dfrac{5}{2}\left(6-b^2\right)=-15+\dfrac{5}{2}b^2\ge-15\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{3};0;\sqrt{3}\right)\)
DF
1
9 tháng 1 2021
Thay \(a=-\left(b+c\right)\) ; \(a+c=-b\) và \(a+b=-c\) vào điều kiện thứ 2 ta có
\(\left(b+c\right)^2=2\left(-b+1\right)\left(-c-1\right)\)
<=> \(b^2+c^2+2bc=2bc+2b-2c-2\)
<=> \(\left(b-1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=-1\end{matrix}\right.\)
suy ra: a=0. Vậy A = a2 + b2 + c2 = 2
TA
0
CM
11 tháng 11 2019
Ta có:
0 < a < 1 ⇒ a - 1 < 0 ⇒ a(a - 1) < 0 ⇒ a2 - a < 0 (1)
Tương tự:
0 < b < 1 ⇒ b2 - b < 0 (2)
0 < c < 1 ⇒ c2 - c < 0 (3)
Cộng (1); (2); (3) vế theo vế ta được:
a2 + b2 + c2 - a - b - c < 0
⇔ a2 + b2 + c2 < a + b + c
⇔ a2+ b2 + c2 < 2 (do a + b + c = 2)
D
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 4 2021
- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)
- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\) trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)
Vậy \(a=b=c=0\)
Đề này của bọn Vĩnh Phúc thì phải
Xét hàm \(f\left(c\right)\)trên [1;2] trong đó
\(f\left(c\right)=\left(\frac{\left(6-c\right)^2}{4}+2\right)^2\left(c^2+2\right)\)
\(f'\left(c\right)=-2\left(\frac{\left(6-c\right)^2}{4}+2\right)\left(\frac{6-c}{2}\right)\left(c^2+2\right)+\left(\frac{\left(6-c\right)^2}{4}+2\right)^2.2c\)
\(=\left(\frac{\left(6-c\right)^2}{4}+2\right)^2.\left(2c-\frac{\left(6-c\right)\left(c^2+2\right)}{\frac{\left(6-c\right)^2}{4}+2}\right)\)
\(=2\left(\frac{\left(6-c\right)^2}{4}+2\right)^2\left(\frac{c\left[\left(6-c\right)^2+8\right]-2\left(6-c\right)\left(c^2+2\right)}{\left(6-c\right)^2+8}\right)\)
Ta đi xét dấu của \(c\left[\left(6-c\right)^2+8\right]-2\left(6-c\right)\left(c^2+2\right)\)trên (1;2)
Ta có : \(c\left[\left(6-c\right)^2+8\right]-2\left(6-c\right)\left(c^2+2\right)=3\left(c^3-8c^2+16c-8\right)\)
\(=3\left(c-2\right)\left(c^2-6c+4\right)\)
\(=3\left(c-2\right)\left(c-3-\sqrt{5}\right)\left(c-3+\sqrt{5}\right)\)
\(>0\forall c\in\left(1;2\right)\)
Do đó \(f'\left(c\right)>0\forall c\in\left(1;2\right)\)nên hàm f(c) đồng biến trên [1;2]
Từ đó suy ra \(f\left(c\right)\le f\left(2\right)=216\)
Dấu ''='' <=> a = b = c = 2